ကဲးကုလတ်သ်

အာခီမီးဒီး မာꩻတွမ်ႏ method of exhaustion တွော့ꩻ ထုမ်ႏအီဖို ဧရိယာ ကအောဝ်ႏဒါႏ ပါရာဗိုလာ တဗာႏဆလ အွိုးဝွေꩻကမာꩻခါꩻ Quadrature of the Parabola ကို။
Archimedes used the method of exhaustion to calculate the area under a parabola in his work Quadrature of the Parabola.

ကဲးကုလတ်သ် (အိန်းကလေတ်: Calculus) ယို ထွာ ထာꩻကအွောန်ႏနယ်ဒါႏ ထာꩻကအောဝ်ႏကြုဲင်းတရွꩻခရာႏ သင်္ချာအပင်တပင်သွူ။ ကဲးကုလတ်သ် အောဝ်ႏ နီစား။ ကဲးကုလတ်သ် ဖꩻဝင်ꩻ (differential calculus) တွမ်ႏ ကဲးကုလတ်သ် ဗူႏဝင်ꩻ (integral calculus) သွူ။ ကဖꩻခေါဝ်ညာꩻယော့ဒါႏထာꩻထွူ ကဒေါ့နယ်ဒါႏနီ ခေတ္တတဆင်ႏ ကကြုဲင်းငါကိုခါ အကြုဲင်းနမ်းခါꩻထာꩻနုဲင်းမုဲင်ꩻ ကရိုꩻနောဝ်ꩻ ဝင်ꩻဖေႏမဉ်ꩻခါꩻ ကဲးကုလတ်သ် ဖꩻဝင်ꩻ(ဒစ်ဖရဲန်ဆယ် ကဲးကုလတ်သ်)၊ တွိုႏ ကဲးကုလတ်သ် ဗူႏဝင်ꩻ (အဉ်တီဂရယ် ကဲးကုလတ်သ်) လုဲင်ႏနောဝ်ꩻ ထွာ ထာꩻကဖေႏသေနီ အကခြွောန်းဗူႏဖေႏ ထာꩻဇျꩻပေႏဖုံႏ အောဝ်ႏတေင်တရွꩻဝင်ꩻခါ ထာꩻတဗာႏဗာႏ တန်ပြွူႏလွောန်နုဲင်းမုဲင်ꩻ ခရာႏယိုသွူ။ ကဲးကုလတ်သ်ယို အောဝ်ႏကမ်းနမ်းငီꩻ သိပ္ပံ၊ ရူပဗေဒ၊ နက္ခတ္တဗေဒ၊ ဇီဝဗေဒ၊ အဲန်စဉ်နီယာထာꩻဒါႏ၊ ထာꩻဖြေꩻစာခြောင်ႏ၊ တသီႏ တွမ်ႏ လိုꩻသီးကွိုန်ꩻအီထာꩻခရာႏ (sociology) ဖုံႏသွူ။

သမဲင်ꩻတဖူꩻ

ခရစ်နေင်ႏ ၁၆၇၀ တွမ်ႏ ၁၆၈၀ ဗာႏဖုံႏရာကိုခါ အဲန်ဂလန်ခမ်းသား သာရ် အုဲင်သဲက် နယူတန် တွမ်ႏ ဇျာမနီခမ်းသား ဂေါတ်ဖရစ် လီဗ္ဗနစ်သီး ခြွꩻဗူႏနယ်တရွꩻလွဝင်ꩻ တခိန်ႏခါႏချင်ႏသွူ။ ကွဲႏတွော့ꩻ မာꩻခေါ်ခေါ်ဒျာႏဝင်ꩻ။ နယူတန်နောဝ်ꩻ မဉ်ခြုဲင်းနယ်ဖေႏအီ ထာꩻမာနယ်တသာ အွိုးမို့ꩻကီကအောဝ်ႏဒါႏ ဂျိုဟ်ႏဆာႏဖုံႏ လွေꩻထာꩻခရာႏ။ ထွာမုဲင်ꩻနဲးတဲင် နက္ခတ္တဗေဒယို ဝင်ꩻသေငါꩻအာထွူမကာႏ ထွာက မာꩻအီလꩻယွဲးထာꩻ နောဝ်ꩻမꩻတဲင်သွူ။ မွူးခေ့ꩻမို့ꩻနာ ဆာႏလော်လာထာꩻယို သင်္ဘောꩻဖြီဖြာ ပင်ႏလယ်ခြာကို လွေꩻသားအတာႏ ထွာ ထာꩻခြောင်ႏတန် (important) ကအောဝ်ႏယီးဖေႏ တဖူꩻဒါတဲင် နယူတန် မဉ်မာꩻဖေႏ ထောင်တွမ်ႏဂဏန်ꩻသင်္ချာဖဲ့ꩻ နောဝ်ꩻသွူ။ လီဗ္ဗနစ်နောဝ်ꩻ မဉ်ကြဲမ်နယ် မဉ်တွက်နယ်ဖေႏ ထာꩻကဲတ်ꩻတငေါ်ꩻလောင်း ကအောဝ်ႏဒါႏ ထာꩻအဲန်ႏလုဲင်းခရာႏသွူ။ နေင်ႏခြွောန်းထွိုင်ႏအာ၊ လာ ဒါထွိုင်ႏည ဝွေꩻသီးဝင်ꩻနီ နွိုင်းချာငါဗာႏဖိုဝင်ꩻ ခွေအွောန်မာꩻရီး၊ နာꩻအွောန်မာꩻရီး ကဲးကုလတ်သ် သွူ။ သိပ္ပပညာႏဒါႏ ကအောဝ်ႏ အဲန်ဂလန်ခမ်းကိုသားနောဝ်ꩻ ပါ နယူတန်ဖဲ့ꩻရိုꩻလဲ့ ကအောဝ်ႏကုဲင် သိပ္ပပညာႏဒါႏ ကအုံ ဥရေားပ ဟမ်ႏဖဲန်တန်ကိုသားနောဝ်ꩻ အုံဒျာႏ လီဗ္ဗနစ်ဖဲ့ꩻ နောဝ်ꩻသွူ။ ဒါႏသင်္ချာပညာႏသား ခေတ်ယိုခါနောဝ်ꩻ စူꩻဖေႏလို့ နီဖြာꩻ။ ခေတ်တသာ ကဲးကုလတ်သ် တခူးတခေါဝ် နုဲင်း ကအောဝ်ႏတဲမ်းအီဒါႏ ရူပဗေဒကိုဖုံႏယို ထွာ နယူတန်မာꩻခါꩻ။ ကအောဝ်ႏကုဲင်ဒါႏ တစူးတစိꩻ ပါတွမ်ႏ ကဲးကုလတ်သ် သင်္ကေႏတဖုံႏယို ထွာ လီဗ္ဗနစ် မာꩻဖေႏခါꩻ နောဝ်ꩻသွူ။ မာꩻတွမ်ႏသင်္ချာ ကအွောန်ႏနယ်ဖေႏ ရူပလောကကို ဝွေꩻသီးယို အရီးလွိုမွေးတောဝ်းဒွိုန်း။ အရစ်သတိုတယ်၊ ပုဲက်တာဂိုရ တွမ်ႏ အာခီမီးဒီးသီးယို လဲန်းငါရီးထဲင်းက ဝွေꩻသီး။ လိုꩻကရိုꩻ သင်္ချာယို ထွာ သိပ္ပဘာႏသာႏငေါဝ်းငွါသား ဂါလီလီယို ဂါလီလီ တဲ့ လဲန်းရီးထဲင်းနေဒွိုန်းက နယူတန်သီးသွူ။ ကွဲးတွော့ꩻ နယူတန် တွမ်ႏ လီဗ္ဗနစ် ဝင်ꩻနီလို့ယို ထွာ ခေတ်တသာ ကမာꩻရီးဖေႏ ထာပွိုင် ဒီသုဲင်း (design) ၊ ထာꩻဖုံႏ ကြုဲင်းလုဲင်ႏနမ်း အခိန်ႏကိုနုဲင်းမုဲင်ꩻ၊ အနာဂတ္ထကို အီးကြုဲင်းလုဲင်ႏတေားထဲင်းနုဲင်းမုဲင်ꩻ ခရာႏဖုံႏသွူ။ ကဲးကုလတ်သ်ယို ရိုမန်ခမ်းသား ကကြဲမ်အီ ကတွက်အီထာꩻတာႏ အောဝ်ႏလဲတ်တဉ်လိတ်ဖြုံႏ အဓိပ္ပယ်ႏကလꩻ လုံးတူႏပေႏ ကိုထွာလွောန်။ အဉ်းဂလစ်ဆျ်ငေါဝ်း calculate ယိုကဲႏ အောဝ်ႏလဲတ်တဉ် လိတ်ဖြုံႏကိုထွာနေနေသွူ။

ကဲးကုလတ်သ် ဖꩻဝင်ꩻ

ကအီးထုမ်ႏ ဂဏန်ꩻဗောက်ꩻဗျောဝ်ႏ (မန်းဟဲ့ꩻ ကိန်းရှင်) variable ကအောဝ်ႏခြꩻ လꩻသွꩻဒါႏ ဂဏန်ꩻဗောက်ꩻဗျောဝ်ႏ ယင်းတဖြုံႏခေါ်ကိုအတာႏ ထုမ်ႏအီဗာႏတွမ်ႏ ဒစ်ဖရဲန်ဆယ် ကဲးကုလတ်သ်သွူ။ ဂဏန်ꩻဗောက်ꩻဗျောဝ်ႏယို အကြုဲင်းနမ်းဒါႏထာꩻ။ ဂဏန်ꩻရိုႏရိုႏတွမ်ႏ ဂဏန်ꩻဗောက်ꩻဗျောဝ်ႏယို ဗွန်ပီတောဝ်းဝင်ꩻ။ ဥပမာႏ ၁ ယို ဗွန်ပီတသေးသေႏ ၁၊ ၂၀၀ တွမ်ႏ ၂၀၀ ယို ဗွန်ပီတသေႏဝင်ꩻ။ ဂဏန်ꩻဗောက်ꩻဗျောဝ်ႏယို ဝင်ꩻတဲမ်းအာဖေႏတွမ်ႏ အဉ်းဂလစ်ဆျ်လိတ်ဖြုံႏ x, y, zဖုံႏ။ အမုဲင်ꩻ အဗဲက်ꩻ တဗာႏကို x ယို ဗွန်ပီဒါႏ ၁၊ ယင်းအွိုးတဖဲ့ꩻနောဝ်ꩻ တတျာဒါႏ ၂၀၀ သွူ။ ဂဏန်ꩻဗောက်ꩻဗျောဝ်ႏ ယဟန်ႏဖုံႏနောဝ်ꩻ ထွာ အကွာႏအညာꩻ (distance) တွမ်ႏယင်း အခိန်ႏ (time) သွူ။ ထွာမုဲင်ꩻနဲးတဲင် ဝွေꩻသီးယို ကောပ်အကြုဲင်းထိုꩻဒါႏမꩻသွူ။ ထာꩻနမ်းတဗာႏ အမွိုင်ယို ထွာ အခိန်ႏ (time) ကာႏမုဲင်ꩻကို ထာꩻနမ်းလွေꩻထာꩻ တွိုႏမုဲင်ꩻသွူ။ ရိုꩻခန်း မဲင်ႏခြောန်း ၅၀ အညာကို ကအောဝ်ႏဒါႏ ဝေင်ꩻတဝေင်ꩻသူꩻ လိုꩻတဖြာꩻ ဝါးတွမ်ႏကား (၁) နာႏရီႏမဉ်ႏတွိုႏနောဝ်ꩻ ဝွေꩻယို ၁ နာႏရီႏ တကလွီႏထာꩻ တွိုႏ လဲန်းငီꩻဝင်ꩻမဲင်ႏ ၅၀ သွူ။ ကွဲးတွော့ꩻ ထာꩻယို ထွာနေက ထာꩻလဲန်းငီꩻဝင်ꩻ။ တဖူꩻမဉ်ႏစွောန်ႏ ဝင်ꩻအီးဝါးမွိုင်ခြာ၊ ကြုဲင်မဉ်ႏတချရော်ရာ ဝင်ꩻအီးဝါးယွဖေႏဗာႏဒွိုန်းက။ နောဝ်ꩻမꩻ ကားဝါးသား တဖြာꩻအတာႏ ထွားဗော့ꩻ ကားအော်ဒိုမီတာတွော့ꩻ အွောန်ႏတောင်ꩻအီ ၁ နာႏရီႏ ကားမွိုင်တွာမုဲင်ꩻနောဝ်ꩻ လုမ်းနမ်းတောဝ်းသွူ။ ခါးလား ကဲးကုလတ်သ်ကအောဝ်ႏခါ ကအီးထောင်ထာꩻ ဆကီယိုစားနောဝ်ꩻ ဒါႏတဲ့ ဖꩻပေႏနေးထဲင်း အခိန်ႏ (time) သွူ။ နောဝ်ꩻထွူ အခိန်ႏဒွေါင်ႏပေႏအာကို ကလꩻလွေꩻဒါႏ အမွိုင်လဲန်းငီꩻဝင်ꩻ (average velocity ပျမ်းမျှအလျင်) နောဝ်ꩻ ပေါင်းလဲန်းထွꩻဗွို့ꩻ အခိန်ႏအမဲန်ႏ။ ထာꩻယိုစားနောဝ်ꩻ ထွာဖို ထာꩻညာꩻယော့ ထောင်ခုဲင်ႏထွူကာႏတောဝ်း မဉ်ႏမဉ်ထောင် တလဲင်ႏတလဲင်ႏ အီးထောင်ဗာႏချာ အစစသွူ။

ထာꩻတငေါ်ꩻတဗာႏကို ထာꩻဗဲက်ꩻ ဗွိုန်ပီတောဝ်းဝင်ꩻ နီဗဲက်ꩻယို အတလဲင် အတလွာꩻ ပီတောဝ်းဝင်ꩻ။ ထာꩻကဲတ်ꩻတနျာႏ တွမ်ႏ ထာꩻကဲတ်ꩻတသောမ်ႏ နီလီးယို အောဝ်ႏဒꩻ ထာꩻတငေါ်ꩻ (မန်းဟဲ့ꩻ မျဉ်းကွေး)

ဒစ်ဖရဲန်ဆယ် ကဲးကုလတ်သ် (ကဲးကုလတ်သ် ဖꩻဝင်ꩻ) ယို ဝင်ꩻမာꩻအီ ဂရပ်ထာꩻ (graphing) ကို။ ပျတ်သနာႏ ကဗွိုန်နောဝ်ꩻနဝ်ꩻ ထွာ ထောင်ထာꩻတလဲင် (မန်းဟဲ့ꩻ လျှောစောက်) ကအောဝ်ႏဒါႏ ထာꩻတငေါ်ꩻ ထာꩻကုင်ႏကဲင်ႏ တဗာႏလောင်းသွူ။ ထာꩻအောဝ်ႏစွဲးဝင်ꩻ y = f(x) ကို f ယို ထွာ function လိတ်ဖြုံႏအထျꩻ၊ တွိုန်းတွာဝင်ꩻ (equation ညီမျှခြင်း) ယိုဗာႏရိုꩻ y ယို x အောဝ်ႏစွဲးခါꩻ နုဲင်းနောဝ်ꩻသွူ။ အဓိပ္ပယ်ႏနောဝ်ꩻ y ငိုꩻ မဉ်ႏထိုကီတွာမုဲင်ꩻတဲ့ x ငိုꩻ အီးအာငါ ထွꩻဗွို့ꩻသွူ။ မဉ်ႏထွား ထာꩻတွိုန်းတွာဝင်ꩻနုဲင်း y = x² ယို နီကအောဝ်ႏသေနောဝ်ꩻ ပေါ်ႏ x မဉ်ႏထွာ 1 နောဝ်ꩻ y အီးထွာ 1 ။ ပေါ်ႏရိုꩻ x မဉ်ႏထွာ 3 နောဝ်ꩻ y အီးထွာ 9 ။ ပေါ်ႏရိုꩻ x ငေါဝ်းမဉ်ႏလဲန်း 20 ခါ y ငွါအီးလွေꩻ 400 သွူ။ y = f(x) y = x² နီဗာႏကို အစေႏဖဲ့ꩻ ဗွိုန်ဝင်ꩻတဲင် အထွေဖဲ့ꩻကဲႏ ထွာနုဲင်းနုဲင်း အငိုꩻတဗာႏချင်ႏနောဝ်ꩻမꩻ နီတဲမ်းလွေꩻ f(x) = x² ထာꩻယိုနောဝ်ꩻ အဉ်းဂလစ်ဆျ်နေး ဟဲ့ꩻ derivative, အဓိပ္ပယ်ႏနောဝ်ꩻ ထွာ လꩻဆုမ်ႏ အိုးတစူခေါ်လောင်း ၊ တဲမ်းအာဝင်ꩻ $f'(x)$ နုဲင်းနောဝ်ꩻသွူ။ ဒီရီဗ္ဗတစ် (derivative) ယို သင်္ချာကို တဲမ်း လယိုစားသွူ။ $f^{\prime }(x)=\lim _{\delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x}}.$ လီဗ္ဗနစ် တဲမ်းနယ်ခါꩻနောဝ်ꩻ ထွာ ${\tfrac {dy}{dx}}=f'(x)$. ဒါႏသင်္ချာပညာႏသားဖုံႏ မာꩻဟောဝ်ခါꩻဖေႏပါလဲန်း တီအိုရီ အထျꩻထျꩻဖုံႏ၊ ဒီရီဗ္ဗတစ် မုဲင်ꩻစားစားတဲ့ယောဝ်း စေအီလꩻပါနေးသွူ။ ကဲးကုလတ်သ်ယို မာꩻအီအာ ကထုမ်ႏ ထာꩻကအောဝ်ႏရုဲင်ꩻဒါႏထာꩻသီး အမွိုင်ဖုံႏ၊ ယမ်သေနာႏ တျာႏမေႏခရာႏ တွမ်ႏယင်း ထာꩻတရေ့ꩻပသီႏ (magnetism) ခရာႏဖုံႏကိုသွူ။ ဝွေꩻယိုနောဝ်ꩻ ကအီးသေနာႏ ရူပဗေဒ တွမ်ႏ သိပ္ပခရာႏဖဲ့ꩻကို ထွာအခြောင်ႏစဲင်း အရေꩻတန်တဗာႏသွူ။

ကဲးကုလတ်သ် ဗူႏဝင်ꩻ

အဉ်တီဂရေးဆဉ်း (ဗူႏဝင်ꩻ) ယို ထွာ ထောင် ဧရိယာ ကဖေႏခါꩻ a, b တွမ်ႏ y = f(x).

အဉ်တီဂရယ် ကဲးကုလတ်သ်ယို ထွာ ထာꩻစေဧရိယာ ကအောဝ်ႏ ဖန်ဆဉ် (function ဆက်သွယ်ချက်) ဂရပ် (graph) တဗာႏဆလသွူ။ ဥပမာႏတဗာႏနောဝ်ꩻ ထွာ စေလွောန်ꩻ ကားကလော်ခါꩻဒါႏ အကွာႏအညာꩻ။ တဖြာꩻဖြာꩻ မဉ်ႏအောဝ်ႏသေ ကားကယွိုးယွခိန်ႏ ထာꩻဗဲက်ꩻ ယင်း ကားကမွိုင်လွိုခိန်ႏ ထာꩻဗဲက်ꩻဖုံႏရာထွူ မဉ်ႏကဲတ်ꩻ ဂရပ် အမွိုင်ယိုဗာႏခရာႏနောဝ်ꩻခါလဲင်ႏ ကားကလော်ခါꩻဒါႏ အကွာႏအညာꩻယို အီးထွာလွေꩻ ဂရပ်ကို ကအောဝ်ႏဒါႏ ဧရိယာသွူ။

အွောန်ႏခြွောန်းအာအာဖေႏမဉ်ႏဒါႏ ထာꩻစဲင်ႏစွို့ꩻ စတုဂံဖုံႏရာနောဝ်ꩻ နီရမ်ꩻသော့ꩻ ဧရိယာကအောဝ်ႏ ထာꩻကဲတ်ꩻတငေါ်ꩻဆလ အီးမော်။ နီမဉ်ႏယွိုင်းသော့ꩻအာခြာ ထာꩻစဲင်ႏစွို့ꩻ စတုဂံ (မန်းဟဲ့ꩻ ထောင့်မှန်စတုဂံ) ဖုံႏရာနောဝ်ꩻ နီထာꩻရမ်ꩻခြꩻ ယွိုင်းအီးယမ်ယမ်သွူ။

ကအီးမာꩻ ထာꩻမာꩻနယ်ယိုစားတာႏ အောဝ်ႏလိုႏဖꩻခေါ်ထန်ႏ စတုဂံအာအာ၊ တဲမ်းကဲတ်ꩻသော့ꩻ ထာꩻစဲင်ႏစွို့ꩻ စတုဂံပေႏအာအာ အွိုးဂရပ်လောင်းသွူ။ စတုဂံကယွိုင်းဒွို့ꩻဒွို့ꩻ စတုဂံဖုံႏ ယွိုင်းရဲပ်ခူယမ်နွောင်ꩻငါငါထဲင်း ဧရိယာကအောဝ်ႏဒါႏ ဂရပ်ကိုနောဝ်ꩻသွူ။ အဉ်တီဂရယ်ယို တဲမ်းသင်္ချာကို နုဲင်းလယို။ f(x) အောဝ်ႏ a လွေꩻ b ယို တဲမ်း $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$.